补码解释及运算

2013年9月30日 22:29
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补码(two's complement)
  1、在计算机系统中,数值一律用补码来表示(存储)。
  主要原因:使用补码,可以将符号位和其它位统一处理;同时,减法也可按加法来处理。另外,两个用补
  码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。
  2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
  求给定数值的补码表示分以下两种情况:
(1)正数的补码
  与原码相同。
  【例1】+9的补码是00001001。
(2)负数的补码
  符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。
  【例2】求-7的补码。
  因为给定数是负数,则符号位为“1”。
  后七位:+7的原码(0000111)→按位取反(1111000)→加1(1111001)
  所以-7的补码是11111001。
  已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:
  (1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,其原码就是补码。
  (2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
  另一种方法求负数的补码如下:
  例如:求-15的补码
  第一步:+15:00001111
  第二步:逐位取反(1变成0,0变成1),然后在末尾加1。
  11110001
  再举一个例子验证下:求-64的补码
  +64:01000000
  11000000
  【例3】已知一个补码为11111001,则原码是10000111(-7)。
  因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为“1”。
  其余七位1111001取反后为0000110;
  再加1,所以是10000111。
  在“闲扯原码、反码、补码”文件中,没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”
  的概念:
  “模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范
  围,即都存在一个“模”。例如:
  时钟的计量范围是0~11,模=12。
  表示n位的计算机计量范围是0~2^(n)-1,模=2^(n)。
  “模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的
  余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。
  例如: 假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:
  一种是倒拨4小时,即:10-4=6
  另一种是顺拨8小时:10+8=12+6=6
  在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。
  对“模”而言,8和4互为补数。实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特
  性。共同的特点是两者相加等于模。
  对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8, 所能表示的最大数是11111111,若再
  加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回了00000000,所以8位二进制系统的
  模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以
  了。把补数用到计算机对数的处理上,就是补码。
  另外两个概念
  一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码
  而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。
(3).补码的绝对值(称为真值)
  【例4】-65的补码是10111111
  若直接将10111111转换成十进制,发现结果并不是-65,而是191。
  事实上,在计算机内,如果是一个二进制数,其最左边的位是1,则我们可以判定它为负数,并且是用补码表示。
  若要得到一个负二进制数的绝对值(称为真值),只要各位(包括符号位)取反,再加1,就得到真值。
  如:二进制值:10111111(-65的补码)
  各位取反:01000000
  加1:01000001(+65的补码)
 
代数加减运算
1、补码加法
  [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补
  【例5】X=+0110011,Y=-0101001,求[X+Y]补
  [X]补=00110011 [Y]补=11010111
  [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010
  注:因为计算机中运算器的位长是固定的,上述运算中产生的最高位进位将丢掉,所以结果不是
  100001010,而是00001010。
2、补码减法
  [X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补
  其中[-Y]补称为负补,求负补的方法是:所有位(包括符号位)按位取反;然后整个数加1。
  【例6】1+(-1) [十进制]
  1的原码00000001 转换成补码:00000001
  -1的原码10000001 转换成补码:11111111
  1+(-1)=0
  00000001+11111111=00000000
  00000000转换成十进制为0
  0=0所以运算正确。
3、补码乘法
  设被乘数【X】补=X0.X1X2……Xn-1,乘数【Y】补=Y0.Y1Y2……Yn-1,
  【X*Y】补=【X】补×【Y】补,即乘数(被乘数)相乘的补码等于补码的相乘。
 
补码的代数解释
  任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
  这个假设a为正数,那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法,我们可以把a表示为:a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)
  这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0,而且这里设a的二进制位数为n位,即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2),而式子:-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式,2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1,所以1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反,而为什么要加1,追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,还有-2^(n-1)这项未解释,这项就是补码里首位的1,首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1),这正是n位二进制的模。
  不能贴公式,所以看起来很麻烦,如果写成代数式子看起来是很方便的。
  注:n位二进制,最高位为符号位,因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位,表示的数值范围为0——2^8-1。
  C语言中,就是用补码进行存储和运算的。

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